Antonio nasceu a 13 de Setembro de 1931 em Cittadella, província italiana de Pádua, quinto de sete filhos. Em 1937 entrou no seminário menor dos Combonianos em Pádua e depois passou para o Noviciado de Florença, onde emitiu os primeiros votos a 9 de Setembro de 1950. Continuou os estudos em Rebbio (Como) e em Venegono para a Filosofia e a Teologia. A 9 de Setembro de 1956, emitiu os votos perpétuos e a 15 de Junho de 1957 foi ordenado sacerdote em Milão pelo cardeal Giovanni Battista Montini, futuro Papa São Paulo VI.
Logo depois da ordenação, o P. Antonio foi destinado ao Sudão, Vicariato de Cartum, onde aprendeu rapidamente a língua como autodidata. A 17 de Maio de 1958 iniciou a sua missão na paróquia de Kadugli, primeiro como assistente e, no ano seguinte, como pároco, depois, de 1961 a 1963, também como superior. Seguidamente foi mandado para El Fasher, no Darfur, e, em 1967, para a paróquia de S. Jorge em En Nahud, onde se tornou rapidamente muito conhecido entre os habitantes do lugar que ainda por cima não eram cristãos.
Em 1974, o P. Antonio foi transferido para Port Sudan, no extremo lest da região do Mar Vermelho, onde havia muito que fazer com os trabalhadores migrantes, os refugiados eritreus e a gestão da prestigiosa escola secundária comboniana. De 1975 a 1984 foi chamado para a catedral de Cartum pelo arcebispo D. Agostino Baroni que queria um sacerdote forte e enérgico na sua nova arquidiocese. A diocese compreendia todo o Norte do Sudão e tinha uma superfície de cerca de 1 750 000 km2.
Em 1976, o P. Antonio foi eleito vigário geral com o encargo de visitar paróquias, escolas, comunidades religiosas, hospitais, casas de formação e encontrar-se com religiosos e sacerdotes da diocese; era também o superior da catedral e além disso tinha sido eleito vice superior regional.
Por ocasião do centenário da morte de Daniel Comboni (10 de Outubro de 1981), D. Baroni pensou sabiamente entregar a arquidiocese a um jovem bispo nativo do Sudão. Aquela decisão mudou definitivamente o rosto da Igreja Católica no Sudão. Com a nomeação de Gabriel Zubeir, primeiro bispo nativo de Cartum, teve início o processo de sudanização da Igreja no Norte do Sudão. D. Zubeir assumiu o seu ofício a 10 de Outubro de 1981, com sede em Cartum. O P. António ajudou o novo arcebispo a administrar a imensa diocese. Com o aumento do trabalho pastoral, o arcebispo sentiu a urgência de dividir geograficamente a diocese criando uma região pastoral com a cidade de Kosti à cabeça:
O P. Antonio foi encarregado desta região e assumiu o título de Vigário Episcopal. O seu mandato aqui foi marcado pela expansão da Igreja e pelo crescimento na fé.
Em 1992, foi nomeado pela Santa Sé administrador apostólico e, em 1996, bispo da diocese de El Obeid. A diocese compreendia três regiões: Norte Kordofan, Sul Kordofan e Darfur, com uma superfície de cerca de 888 000 km2.
Organizar uma diocese com muitas necessidades pastorais não foi uma tarefa fácil, apesar de a região não ser um campo de trabalho inteiramente novo para D. Menegazzo que ali tinha trabalhado nos anos 1960 e 1970. Retomou os contactos com os antigos paroquianos e instaurou relações com os não-cristãos. Pôs em marcha muitos projectos e completou os iniciados pelo seu predecessor.
Eram os anos em que todo o país estava a sofrer uma severa islamização. Os movimentos dos missionários eram limitados e as suas licenças de residência anuladas sem motivo. Sacerdotes, religiosos, religiosas e fiéis eram mantidos sob controlo pelo pessoal governativo. Alguns leigos influentes foram presos só porque tinham aderido ao Cristianismo. As escolas da Igreja Católica foram encerradas. A Igreja, embora não estivesse envolvida na guerra civil de 1983-2005, foi posta na mira pela sua situação clara relativa aos direitos humanos. Com a chegada da paz e da normalidade em grande parte da diocese de El-Obeid, D. Menegazzo iniciou a construção de igrejas.
Dele recordamos também a simplicidade e a proximidade aos necessitados nos momentos mais difíceis e a grande humanidade que sobressaía nas suas visitas pastorais e nas numerosas cartas. A mais conhecida é a mensagem pascal de 2006, em que D. Menegazzo enfrenta a questão da reconciliação pós-bélica e exortava os seus fiéis ao perdão e a resolver os problemas amigavelmente. A carta foi difundida em árabe, inglês e dinka e amplamente lida nas igrejas e na catequese.
A 15 de Agosto de 2010, com a ordenação episcopal do novo bispo,
D. Menegazzo terminou o seu mandato no Sudão e regressou a Itália. Estabeleceu-se na paróquia de origem, Cittadella, onde continuou a desenvolver o seu ministério e onde faleceu a 20 de Março de 2019.
O funeral realizou-se na catedral da pequena cidade, segunda-feira 25 de Março, e foi presidido pelo bispo de Pádua, D. Claudio Cipolla, acompanhado do seu predecessor, D. A. Mattiazzo, por um bispo africano da Tanzânia, por mais de 60 sacerdotes concelebrantes, entre os quais uns quinze combonianos, incluindo o Superior Geral P. Tesfaye Tadesse e o Superior provincial P. Giovanni Munari. A igreja estava apinhada de gente. Estavam presentes também diversos representantes das autoridades civis e das associações paroquiais. A urna foi deposta na cripta reservada aos sacerdotes diocesanos no cemitério da Cittadella.